Simulation des module et argument d'une fonction propre associée à λ1(h), sur... un œuf de Pâques !
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Effet tunnel magnétique

Résultat scientifique Mathématiques

Virginie Bonnaillie-Noël, directrice de recherche au CNRS, Frédéric Hérau, professeur à l'université de Nantes au Laboratoire de mathématiques Jean Leray (LMJL, CNRS/Université de Nantes) et Nicolas Raymond, professeur à l'université d'Angers au Laboratoire angevin de recherche en mathématiques (LAREMA, CNRS/Université d'Angers), décrivent une formule récemment démontrée dans « Pure magnetic tunneling effect in two dimensions », paru à Inventiones Mathematicae, qui trouve ses origines et ses motivations dans la physique quantique.

1. Les motivations

Si on me presse de dire pourquoy je l'aymois, je sens que cela ne se peut exprimer qu'en respondant : Par ce que c'estoit lui : par ce que c'estoit moy. Il y a, au delà de tout mon discours et de ce que j'en puis dire particulierement, ne sçay quelle force inexplicable et fatale, médiatrice de cette union. Nous nous cherchions avant que de nous estre veus [...] : nous nous embrassions par nos noms.
Montaigne, (au sujet d'un magnétisme irrésistible)

1.1. Les origines physiques d'un problème mathématique

La formule dont cet article résume l'histoire et qui a été démontrée dans notre travail trouve ses origines et ses motivations dans la physique quantique. C'est un très ancien problème de savoir décrire précisément les comportements des atomes et des molécules (au moins aussi vieux que Démocrite !). Notre résultat mathématique s'inscrit dans cette longue histoire, particulièrement dans ses développements spectaculaires du début du 20ème siècle, avec la naissance de la physique quantique. L'équation de Schrödinger est l'une des équations qui gouvernent le monde nanoscopique :

((−ih∇−A)2+V)Ψ=ih∂tΨ.


Ici A et V désignent le potentiel vecteur et le potentiel électrique, respectivement : ce sont les sources du champ électro-magnétique (E,B)=(∇V,∇×A). La recherche de solutions particulières conduit à chercher des solutions sous la forme

Ψ(x,t)=φ(x)e−iλt/h,


et cela fait apparaître un problème aux valeurs propres :

((−ih∇−A)2+V)φ=λφ.(1.1)

 
La recherche de solutions (λ,φ) à cette équation est encore un domaine actif de la recherche mathématique, notamment dans la limite h→0 (dite "régime semiclassique"). Nombre de résultats très avancés furent obtenus dans les années 80, avec les travaux fondateurs de Helffer et Sjöstrand, notamment dans le cas sans champ magnétique A=0. Un phénomène physique qui les a particulièrement intéressés et auquel ils ont fourni une explication mathématique très avancée est celui de l'effet tunnel. Cet effet se produit quand le potentiel électrique V possède des symétries.
 

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Sur le site de l’Institut national des sciences mathématiques et de leurs interactions.

Contact

Frédéric Hérau
Professeur à l'université de Nantes au Laboratoire de mathématiques Jean Leray (LMJL, CNRS/Université de Nantes)
Nicolas Raymond
Professeur à l'université d'Angers au Laboratoire angevin de recherche en mathématiques (LAREMA, CNRS/Université d'Angers)